Mechanismentechnik - Aufgabe 5.9

Kinematische Analyse – Schubkurbel / Kreuzschieber

Max Muster ¹

¹ Fachhochschule Dortmund

Jun 2020

Keywords: Kinematik, Mechanismentechnik, Analyse, Koppelgetriebe, microJam

Abstract

Für ein fünfgliedriges Getriebe mit dem Gesamtfreiheitsgrad 1 sind die Geschwindigkeiten zweier Punkte zu ermitteln.

Aufgabenstellung

Ermitteln Sie für das nebenstehend skizzierte Koppelgetriebe

die Geschwindigkeit des Punktes $C$ .
die Geschwindigkeit des Punktes $D$ .

Geg.: $b, \omega=const$ .

1. Satz von Euler

Im Rahmen dieser Lösung wird ausschließlich der Euler'sche Ansatz gemäß der Gleichungen (5.13) und (5.18) verwendet [1].

1.1 Geschwindigkeit ${\bold v}_C$

Für die Kurbel $1$ gilt nach dem 1. Satz von Euler für die Geschwindigkeiten

{\bold v}_{B} = {\bold v}_{A} + \omega_1 {\tilde\bold r}_{AB}

Mit ${\bold v}_{A} = \bold 0$ und $\omega_1 = \omega$ erhalten wir für den Punkt $B$ die Geschwindigkeit

{\bold v}_{B} = \omega\begin{pmatrix}-b\\b\end{pmatrix}\,.

(1)

Für die Koppel $2$ gilt für die Geschwindigkeiten der Endpunkte

{\bold v}_{C} = {\bold v}_{B} + \omega_2 {\tilde\bold r}_{BC}

Da die horizontale Geschwindigkeitsrichtung des im Loslager geführten Punkts $C$ bekannt ist, können wir ersatzweise schreiben ${\bold v}_{C} = v_C\,\bold e_x\,.$ Nun haben wir mit $\omega_2$ und $v_C$ zwei Unbekannte vorliegen.

{\bold v}_{B} + \omega_2 {\tilde\bold r}_{BC} = v_C\,\bold e_x \color{gray} {~\mid~ \bold r_{BC}}

Da wir an der Geschwindigkeit $v_C$ , jedoch nicht an der Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ interessiert sind, eliminieren wir den zweiten Summanden auf der linken Seite der Gleichung durch Multiplikation mit $\bold r_{BC}$ . Auflösen nach $v_C$ und Einsetzen liefert

v_{C} ~=~ \frac{{\bold v}_{B}\,\bold r_{BC}}{\bold e_x\,\bold r_{BC}} ~=~ \omega\frac{\begin{pmatrix}-b\\b\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}b\\-b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}b\\-b\end{pmatrix}} ~=~ -2\omega b\,.

(2)

1.2 Geschwindigkeit ${\bold v}_D$

Glied $3$ ist getriebekinematisch als Kreuzschieber aufzufassen. Der 1. Satz von Euler lautet hierfür

{\bold v}_{D} = {\bold v}_{C} + \omega_3 {\tilde\bold r}_{CD}

Auch hierbei ist die Geschwindigkeitsrichtung des im Loslager geführten Endpunkts $D$ bekannt. Somit gilt ${\bold v}_{D} = v_D\,\bold e_y\,.$ Nun haben wir mit $\omega_3$ und $v_D$ wiederum zwei Unbekannte vorliegen.

{\bold v}_{C} + \omega_3 {\tilde\bold r}_{CD} = v_D\,\bold e_y \color{gray} {~\mid~ \bold r_{CD}}

(3)

Wir suchen die Größe der Geschwindigkeit des Punkts $D$ und multiplizieren daher Gleichung (3) vorzugsweise mit $\bold r_{CD}$ . Nun können wir nach der gesuchten Geschwindigkeit auflösen.

v_{D} ~=~ \frac{{\bold v}_{C}\,\bold r_{CD}}{\bold e_y\,\bold r_{CD}} ~=~ \omega\frac{\begin{pmatrix}-2b\\0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2b\\4b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2b\\4b\end{pmatrix}} ~=~ -\omega b\,.

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass sich Punkt $D$ in negative $y$ -Richtung bewegt.

2. Polstrecken

{ "main":[ {"c":"bar","a":{"x1":50,"y1":60,"x2":80,"y2":30,"label":{"str":"2","off":-1}}}, {"c":"lin","a":{"x1":10,"y1":30,"x2":110,"y2":30,"ls":"gray","ld":[20,4,2,4]}}, {"c":"lin","a":{"x1":20,"y1":30,"x2":80,"y2":90,"ls":"gray","ld":[5,5]}}, {"c":"lin","a":{"x1":80,"y1":30,"x2":80,"y2":90,"ls":"gray","ld":[5,5]}}, {"c":"nodfix","a":{"x":20,"y":30,"label":"01","lbloc":"nw"}}, {"c":"nod","a":{"x":50,"y":60,"label":"12","lbloc":"nw"}}, {"c":"nodflt","a":{"x":80,"y":30,"label":"C","lbloc":"ne"}}, {"c":"pol","a":{"x":80,"y":90,"label":"02","lbloc":"ne"}}, {"c":"avec","a":{"x":20,"y":30,"r":20,"dw":1.75,"label":"ω","lbloc":1,"ls":"green"}}, {"c":"avec","a":{"x":80,"y":90,"r":20,"w":-1.3,"dw":-1.75,"label":"ω2","lbloc":1,"ls":"green"}} ] }

Bild 4: Pol 02

Im Rahmen dieser Lösung werden Polstreckenverhältnisse verwendet [2]. Der Pol $02$ muss also

wegen des Dreipolsatzes nach Aronhold und Kennedy auf der Geraden von $01$ und $12$
wegen der horizontalen Bewegungsrichtung von $C$ senkrecht hierzu durch $C$

liegen.

Die Geschwindigkeit von $B$ kann ausgedrückt werden über

\bold v_B ~=~ \omega\,\tilde\bold r_{AB} = \omega_2\,\tilde\bold r_{02-B}\,.

Wegen $\bold r_{02-B} = -\bold r_{AB}$ folgt hieraus direkt $\omega_2 = -\omega$ und damit

{ "main":[ {"c":"bar","a":{"x1":40,"y1":40,"x2":100,"y2":160,"label":"3"}}, {"c":"lin","a":{"x1":20,"y1":40,"x2":120,"y2":40,"ls":"gray","ld":[20,4,2,4]}}, {"c":"lin","a":{"x1":100,"y1":30,"x2":100,"y2":180,"ls":"gray","ld":[20,4,2,4]}}, {"c":"lin","a":{"x1":40,"y1":30,"x2":40,"y2":160,"ls":"gray","ld":[5,5]}}, {"c":"lin","a":{"x1":100,"y1":160,"x2":40,"y2":160,"ls":"gray","ld":[5,5]}}, {"c":"nodflt","a":{"x":40,"y":40,"label":"C","lbloc":"nw"}}, {"c":"nodflt","a":{"x":100,"y":160,"w":1.57,"label":"D","lbloc":"nw"}}, {"c":"pol","a":{"x":40,"y":90,"label":"02","lbloc":"nw"}}, {"c":"pol","a":{"x":40,"y":160,"label":"03","lbloc":"nw"}}, {"c":"avec","a":{"x":40,"y":90,"r":20,"w":-1,"dw":-1.75,"label":"ω2","lbloc":1,"ls":"green"}}, {"c":"avec","a":{"x":40,"y":160,"r":20,"w":-1,"dw":-1.25,"label":"ω3","lbloc":1,"ls":"green"}} ] }

Bild 5: Pol 03

\bold v_C ~=~ \omega_3\,\tilde\bold r_{02-C} = \omega\,\begin{pmatrix}-2b\\0\end{pmatrix}\,.

in Übereinstimmung mit Beziehung (2).

In diesem Sinne muss der Pol $03$ auf den Geraden

senkrecht zur Bewegungsrichtung von $C$ durch $C$
und senkrecht zur Bewegungsrichtung von $D$ durch $D$

liegen. Für die Geschwindigkeit $\bold v_C$ gilt

\bold v_C ~=~ \omega_2\,\tilde\bold r_{02-C} = \omega_3\,\tilde\bold r_{03-C}\,.

Wegen $\bold r_{03-C} = 2\bold r_{02-C}$ folgt hieraus direkt $\omega_3 = -\frac{1}{2}\omega$ und damit für

\bold v_D ~=~ \omega_3\,\tilde\bold r_{03-D} = \omega\,\begin{pmatrix}0\\-b\end{pmatrix}\,.

Im Vergleich der beiden Verfahren ist festzuhalten, dass die Kenntnis der (Relativ)Pole durchaus vorteilhaft ist.

3. Modell

Das kinematische Modell wird mittels 5 nodes und 5 constraints erstellt. Abweichend von Bild 0. wird die Länge der Koppel 2 etwas größer gewählt (weshalb ?).

{ "nodes":[ {"id":"A","base":true,"idloc":"sw"}, {"id":"B","x":30,"y":30,"idloc":"nw"}, {"id":"C","x":80,"y":0,"idloc":"se"}, {"id":"D","x":140,"y":120,"idloc":"ne"}, {"id":"E","base":true,"x":140,"y":0,"idloc":"ne"} ], "constraints":[ {"id":"1","p1":"A","p2":"B","len":{"type":"const"},"ori":{"type":"drive","func":"linear","Dt":5,"input":true},"lw":16, "ls":"#ff770066"}, {"id":"2","p1":"B","p2":"C","len":{"type":"const"},"lw":16, "ls":"#ff770066"}, {"id":"s","p1":"A","p2":"C","ori":{"type":"const"}}, {"id":"3","p1":"C","p2":"D","len":{"type":"const"},"lw":16, "ls":"#ff770066"}, {"id":"s2","p1":"E","p2":"D","ori":{"type":"const"}} ] }

Modell 1: kinematisches Modell

{   "nodes":[
        {"id":"A","base":true,"idloc":"sw"},
        {"id":"B","x":30,"y":30,"idloc":"nw"},
        {"id":"C","x":80,"y":0,"idloc":"se"},
        {"id":"D","x":140,"y":120,"idloc":"ne"},
        {"id":"E","base":true,"x":140,"y":0,"idloc":"ne"}
    ],
    "constraints":[
        {"id":"1","p1":"A","p2":"B","len":{"type":"const"},
                  "ori":{"type":"drive","func":"linear","Dt":5,"input":true},
                  "lw":16, "ls":"#ff770066"},
        {"id":"2","p1":"B","p2":"C","len":{"type":"const"},
                  "lw":16, "ls":"#ff770066"},
        {"id":"s","p1":"A","p2":"C","ori":{"type":"const"}},
        {"id":"3","p1":"C","p2":"D","len":{"type":"const"},
                  "lw":16, "ls":"#ff770066"},
        {"id":"s2","p1":"E","p2":"D","ori":{"type":"const"}}
    ]
}

Code 1: mec2 JSON-Modell

References

[1] S. Gössner, Mechanismentechnik - Kapitel 4
[2] S. Gössner, Mechanismentechnik - Kapitel 7.6f