Mechanismentechnik - Aufgabe 8.7
Wendekreis einer Kurbelschwinge in Strecklage
Jan Lukas Kaps1
1 Fachhochschule DortmundJanuar 2021
Keywords: Kinematik, Mechanismentechnik, Webprojekt, microJam
Abstract
Die Kurbel (1) einer Kurbelschwinge läuft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω \omega ω e e e ω \omega ω
{
"main": [
{"c":"avec","a":{"x":1,"y":194,"r":30,"dw":2.5,"ls":"green","label":{"str":"ω", "off":-2.5 }}},
{ "c": "bar", "a": { "x1":0, "y1":200, "x2":50, "y2":200, "label":{"str":"1", "off": -5 }}},
{ "c": "origin","a": {"x": 0,"y": 200,"lw": 1.5}},
{ "c": "bar", "a": { "x1":50, "y1":200, "x2":200, "y2":200, "label":{"str":"2", "off": -5 }}},
{ "c": "bar", "a": { "x1":200, "y1":200, "x2":200, "y2":0, "label":{"str":"3", "off": 5 }}},
{ "c": "nodfix", "a": { "x":0, "y":200, "label":{"str":"A0", "loc": "sw", "off": 15 }}},
{ "c": "nodfix", "a": { "x":200, "y":0, "label":{"str":"B0", "loc": "se", "off": 15 }}},
{ "c": "nod", "a": { "x":50, "y":200, "label":{"str":"A", "loc": "nw", "off": 5 }}},
{ "c": "nod", "a": { "x":200, "y":200, "label":{"str":"B", "loc": "ne", "off": 5 }}},
{ "c": "dim", "a": { "x1":240, "y1":0, "x2":240, "y2":200, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"4e", "off": 5 }}},
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{ "c": "dim", "a": { "x1": 0, "y1":-25, "x2":50, "y2":-25, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"e", "off": 5 }}}
]
}
Abb. 1: Kurbelschwinge in Strecklage vgl. Gössner 2017, S.158
1 Vorgehensweise
Für die Lösung dieser Aufgabe ist der nachfolgende Satz sehr hilfreich:
Satz
Der Wendekreis ist der geometrische Ort aller Punkte einer bewegten Gliedebene die augenblicklich einen Wendepunkt ihrer Bahn durchlaufen und daher keine Normalbeschleunigung besitzen. Momentanpol und Beschleunigungspol liegen auf dem Wendekreis.
vgl. Gössner 2017, S.146
1.1 Erstellung der Vektoren gemäß der Abbildung 1
r A 0 A \bm{r}_{A_0A} r A 0 A ( e 0 ) \begin{pmatrix}e\\0\\\end{pmatrix} ( e 0 ) r A B \bm{r}_{AB} r A B ( 3 e 0 ) \begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix} ( 3 e 0 ) r B 0 B \bm{r}_{B_0B} r B 0 B ( 0 4 e ) \begin{pmatrix}0\\4e\\\end{pmatrix} ( 0 4 e )
1.2 Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten ω 2 \omega_2 ω 2 ω 3 \omega_3 ω 3
Für das hier betrachtete Viergelenk lauten dann die Gleichungen für Winkelgeschwindigkeiten [Gl:6.14] vgl. Gössner 2017, S.102
ω 2 = r ~ A 0 A r B 0 B r ~ B 0 B r A B ω u n d ω 3 = r ~ A 0 A r A B r ~ B 0 B r A B ω \omega_2 = \frac{\tilde{\bm{r}}_{A_0A}\bm{r}_{B_0B}}{\tilde{\bm{r}}_{B_0B}\bm{r}_{A_B}}\omega
\qquad und\qquad
\omega_3 = \frac{\tilde{\bm{r}}_{A_0A}\bm{r}_{A_B}}{\tilde{\bm{r}}_{B_0B}\bm{r}_{A_B}}\omega ω 2 = r ~ B 0 B r A B r ~ A 0 A r B 0 B ω u n d ω 3 = r ~ B 0 B r A B r ~ A 0 A r A B ω Durch Einsetzen der obigen Vektoren in die Gleichungen ergeben sich folgenden Gleichungen:
ω 2 = ( 0 e ) ( 0 4 e ) ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) ω = 4 e 2 − 12 e 2 ω = − 1 3 ω \omega_2 = \frac{\begin{pmatrix}0\\e\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\4e\\\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix}-4e\\0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}}\omega = \frac{4e^2}{-12e^2}\omega = -\frac{1}{3}\omega ω 2 = ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) ( 0 e ) ( 0 4 e ) ω = − 1 2 e 2 4 e 2 ω = − 3 1 ω ω 3 = ( 0 e ) ( 3 e 0 ) ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) ω = 0 − 12 e 2 ω = 0 \omega_3 = \frac{\begin{pmatrix}0\\e\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix}-4e\\0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}}\omega = \frac{0}{-12e^2}\omega = 0 ω 3 = ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) ( 0 e ) ( 3 e 0 ) ω = − 1 2 e 2 0 ω = 0 1.3 Berechnung der Winkelbeschleunigung ω ˙ 2 \dot\omega_2 ω ˙ 2
Für das hier betrachtete Viergelenk lautet dann die Gleichung für die Winkelbeschleunigung [Gl:6.15] vgl. Gössner 2017, S.102
ω ˙ 2 = ω 2 ω ω ˙ − [ ω 2 r A 0 A + ω 2 2 r A B − ω 3 2 r B 0 B ] r B 0 B r ~ B 0 B r A B \dot\omega_2 = \frac{\omega_2}{\omega}\dot\omega -\frac{[\omega^2\bm{r}_{A_0A}+\omega_2^2\bm{r}_{AB}-\omega_3^2\bm{r}_{B_0B}]\bm{r}_{B_0B}}{\tilde{\bm{r}}_{B_0B}\bm{r}_{AB}} ω ˙ 2 = ω ω 2 ω ˙ − r ~ B 0 B r A B [ ω 2 r A 0 A + ω 2 2 r A B − ω 3 2 r B 0 B ] r B 0 B
Anmerkung: \, ω = c o n s t . ⟹ ω 2 ω ⋅ ω ˙ = 0 \,\omega = const. \implies \frac{\omega_2}{\omega}\cdot\dot\omega = 0 ω = c o n s t . ⟹ ω ω 2 ⋅ ω ˙ = 0
ω ˙ 2 = − [ ω 2 r A 0 A + ω 2 2 r A B − ω 3 2 r B 0 B ] r B 0 B r ~ B 0 B r A B \dot\omega_2 = -\frac{[\omega^2\bm{r}_{A_0A}+\omega_2^2\bm{r}_{AB}-\omega_3^2\bm{r}_{B_0B}]\bm{r}_{B_0B}}{\tilde{\bm{r}}_{B_0B}\bm{r}_{AB}} ω ˙ 2 = − r ~ B 0 B r A B [ ω 2 r A 0 A + ω 2 2 r A B − ω 3 2 r B 0 B ] r B 0 B Durch das Einsetzen der obigen Vektoren und ω 2 \omega_2 ω 2 − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 ω \omega ω ω 3 \omega_3 ω 3
ω ˙ 2 = − [ ω 2 ( e 0 ) + ( − 1 3 ω ) 2 ( 3 e 0 ) − 0 2 ( 0 4 e ) ] ( 0 4 e ) ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) \dot\omega_2 = -\frac{[\omega^2\begin{pmatrix}e\\0\\\end{pmatrix}+(-\frac{1}{3}\omega)^2\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}-0^2\begin{pmatrix}0\\4e\\\end{pmatrix}]\begin{pmatrix}0\\4e\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4e\\0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}} ω ˙ 2 = − ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) [ ω 2 ( e 0 ) + ( − 3 1 ω ) 2 ( 3 e 0 ) − 0 2 ( 0 4 e ) ] ( 0 4 e ) Nun wird am besten ω 2 \omega^2 ω 2
ω ˙ 2 = − ω 2 [ ( e 0 ) + 1 9 ( 3 e 0 ) ] ( 0 4 e ) ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) = − ω 2 ( 4 e 3 0 ) ( 0 4 e ) ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) = − ω 2 0 − 12 e 2 = 0 \dot\omega_2 = -\omega^2\frac{[\begin{pmatrix}e\\0\\\end{pmatrix}+\frac{1}{9}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}]\begin{pmatrix}0\\4e\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4e\\0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}} = -\omega^2\frac{\begin{pmatrix}\frac{4e}{3}\\0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\4e\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4e\\0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix}} = -\omega^2\frac{0}{-12e^2} = 0 ω ˙ 2 = − ω 2 ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) [ ( e 0 ) + 9 1 ( 3 e 0 ) ] ( 0 4 e ) = − ω 2 ( − 4 e 0 ) ( 3 e 0 ) ( 3 4 e 0 ) ( 0 4 e ) = − ω 2 − 1 2 e 2 0 = 0 1.4 Berechnung der Lage des Momentanpols
Der Momentanpol lässt sich sowohl graphisch als auch rechnerisch bestimmen. Graphisch lässt sich der Momentanpol der Koppel 2 bestimmen, indem die Strecke von A 0 A_0 A 0 B 0 B_0 B 0
{
"main": [
{"c":"avec","a":{"x":1,"y":194,"r":30,"dw":2.5,"ls":"green","label":{"str":"ω", "off":-2.5 }}},
{ "c": "lin", "a": { "x1":50, "y1":200, "x2":230, "y2":200, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"2", "off": 5 }}},
{ "c": "lin", "a": { "x1":200, "y1":0, "x2":200, "y2":230, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"3", "off": 5 }}},
{ "c": "bar", "a": { "x1":0, "y1":200, "x2":50, "y2":200, "label":{"str":"1", "off": -5 }}},
{ "c": "origin","a": {"x": 0,"y": 200,"lw": 1.5}},
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{ "c": "nodfix", "a": { "x":200, "y":0, "label":{"str":"B0", "loc": "se", "off": 15 }}},
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{ "c": "nod", "a": { "x":200, "y":200, "label":{"str":"P", "loc": "ne", "off": 5 }}},
{"c":"vec","a":{"x1":50,"y1":200,"x2":130,"y2":200,"ls":"darkred","lw":3 }},
{"c":"vec","a":{"x1":200,"y1":0,"x2":200,"y2":80,"ls":"darkred","lw":3 }},
{ "c": "dim", "a": { "x1":240, "y1":0, "x2":240, "y2":200, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"4e", "off": 5 }}},
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{ "c": "dim", "a": { "x1": 0, "y1":-25, "x2":50, "y2":-25, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"e", "off": 5 }}}
]
}
Abb. 2: Bestimmung des Momentanpols P
Aus der Abbildung 2 lässt sich folgendes ablesen:
r A P = ( 3 e 0 ) = 3 e e x \bm{r}_{AP} = \begin{pmatrix}3e\\0\\\end{pmatrix} = 3e\bm{e}_{x} r A P = ( 3 e 0 ) = 3 e e x Rechnerisch wird der Momentanpol über die Geschwindigkeit des Kurbelpunktes A berechnet vgl. Gössner 2017, S.74 Gl. 5.13 .
v A = ω r ~ A 0 A \bm{v}_{A} = \omega \tilde{\bm{r}}_{A_0A} v A = ω r ~ A 0 A Durch einsetzen von r A 0 A \bm{r}_{A_0A} r A 0 A ( e 0 ) \begin{pmatrix}e\\0\\\end{pmatrix} ( e 0 )
v A = ω ( 0 e ) = ω e e y \bm{v}_{A} = \omega\begin{pmatrix}0\\e\\\end{pmatrix} = \omega e \bm{e}_{y} v A = ω ( 0 e ) = ω e e y
Satz
Die allgemeine ebene Starrkörperbewegung kann augenblicklich als reine Drehung um einen ausgezeichneten Punkt - den Momentanpol oder Geschwindigkeitspol - aufgefasst werden
vgl. Gössner 2017, S.116 Gl 7.3
r A P = 1 ω 2 v ~ A \bm{r}_{AP} = \frac{1}{\omega_2}\tilde{\bm{v}}_{A} r A P = ω 2 1 v ~ A Durch das Einsetzen der Gleichung für die Geschwindigkeit des Kurbelpunktess A und ω 2 \omega_2 ω 2 − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 ω \omega ω v ~ A \tilde{\bm{v}}_{A} v ~ A − ω e e x -\omega e \bm{e}_{x} − ω e e x e ~ y = ^ − e x \tilde\bm{e}_{y} \hat{=}-\bm{e}_{x} e ~ y = ^ − e x
r A P = 1 − 1 3 ω ( − ω e e x ) = 3 e e x \bm{r}_{AP} = \frac{1}{-\frac{1}{3}\omega} (-\omega e \bm{e}_{x}) = 3e\bm{e}_{x} r A P = − 3 1 ω 1 ( − ω e e x ) = 3 e e x 1.5 Berechnung der Polbeschleunigung
Zunächst wird die Beschleunigung des Kurbelpunktes A mit Hilfe der Gleichung Gl 5.18 (vgl. Gössner 2017, S.76) bestimmt:
a A = a A 0 + ω ˙ 1 r ~ A 0 A − ω 1 2 r A 0 A \bm{a}_{A} = \bm{a}_{A_0} + \dot\omega_1\tilde\bm{r}_{A_0A}-\omega_1^2 \bm{r}_{A_0A} a A = a A 0 + ω ˙ 1 r ~ A 0 A − ω 1 2 r A 0 A Unter Berücksichtigung von a A 0 \bm{a}_{A_0} a A 0 ω 1 \omega_1 ω 1 ω \omega ω ω ˙ 1 \dot\omega_1 ω ˙ 1
a A = − ω 2 ( e 0 ) = − ω 2 e e x \bm{a}_{A} = -\omega^2\begin{pmatrix}e\\0\\\end{pmatrix} = -\omega^2 e \bm{e}_{x} a A = − ω 2 ( e 0 ) = − ω 2 e e x Nun wird die Polbeschleunigung mit folgender Gleichung berechnet vgl. Gössner 2017, S.120 Gl 7.5
a P = a A + ω ˙ 2 r ~ A P − ω 2 2 r A P \bm{a}_{P} = \bm{a}_{A}+\dot\omega_2\tilde\bm{r}_{AP}-\omega_2^2 \bm{r}_{AP} a P = a A + ω ˙ 2 r ~ A P − ω 2 2 r A P Durch das Einsetzen von a A \bm{a}_{A} a A − ω 2 e e x -\omega^2 e \bm{e}_{x} − ω 2 e e x r A P \bm{r}_{AP} r A P 3 e e x 3e\bm{e}_{x} 3 e e x ω 2 \omega_2 ω 2 − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 ω \omega ω ω ˙ 2 \dot\omega_2 ω ˙ 2
a P = − ω 2 e e x − ( − 1 3 ω ) 2 3 e e x = − ω 2 e e x − 1 9 ω 2 3 e e x \bm{a}_{P} = -\omega^2 e \bm{e}_{x}-(-\frac{1}{3}\omega)^23e\bm{e}_{x} = -\omega^2 e \bm{e}_{x}-\frac{1}{9}\omega^23e\bm{e}_{x} a P = − ω 2 e e x − ( − 3 1 ω ) 2 3 e e x = − ω 2 e e x − 9 1 ω 2 3 e e x Durch das Ausklammern von − ω 2 -\omega^2 − ω 2
a P = − ω 2 ( e e x + 1 3 e e x ) = − ω 2 4 3 e e x \bm{a}_{P} = -\omega^2(e \bm{e}_{x}+\frac{1}{3}e \bm{e}_{x}) = -\omega^2\frac{4}{3}e\bm{e_x} a P = − ω 2 ( e e x + 3 1 e e x ) = − ω 2 3 4 e e x 1.6 Berechnung des Wendepols W
Ausgehend von der Gleichung r P W \bm{r}_{PW} r P W a P ω 2 2 \frac{\bm{a}_{P}}{\omega_2^2} ω 2 2 a P Gössner 2017, S.147 Gl 8.8 . Durch das Einsetzen von a P \bm{a}_{P} a P − ω 2 4 3 e e x -\omega^2\frac{4}{3}e\bm{e_x} − ω 2 3 4 e e x ω 2 \omega_2 ω 2 − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 ω \omega ω
r P W = − ω 2 4 3 e e x ( − 1 3 ω ) 2 = − ω 2 4 3 e e x 1 9 ω 2 = − 12 e e x = ( − 12 e 0 ) \bm{r}_{PW} = \frac{-\omega^2\frac{4}{3}e\bm{e_x}}{(-\frac{1}{3}\omega)^2} = \frac{-\omega^2\frac{4}{3}e\bm{e_x}}{\frac{1}{9}\omega^2} = -12e\bm{e_x} = \begin{pmatrix}-12e\\0\\\end{pmatrix} r P W = ( − 3 1 ω ) 2 − ω 2 3 4 e e x = 9 1 ω 2 − ω 2 3 4 e e x = − 1 2 e e x = ( − 1 2 e 0 )
{
"main": [
{"c":"avec","a":{"x":1,"y":194,"r":30,"dw":2.5,"ls":"green","label":{"str":"ω", "off":-2.5 }}},
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{ "c": "origin","a": {"x": 0,"y": 200,"lw": 1.5}},
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{ "c": "nod", "a": { "x":50, "y":200, "label":{"str":"A", "loc": "nw", "off": 5 }}},
{ "c": "nod", "a": { "x":-400, "y":200, "label":{"str":"W", "loc": "nw", "off": 5 }}},
{ "c": "nod", "a": { "x":-100, "y":200, "label":{"str":"W0", "loc": "nw", "off": 5 }}},
{ "c": "nod", "a": { "x":200, "y":200, "label":{"str":"P", "loc": "ne", "off": 5 }}},
{"c":"vec","a":{"x1":200,"y1":200,"x2":130,"y2":200,"ls":"darkred","lw":3 }},
{ "c": "dim", "a": { "x1":240, "y1":0, "x2":240, "y2":200, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"4e", "off": 5 }}},
{ "c": "dim", "a": { "x1":-400, "y1":240, "x2":200, "y2":240, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"12e", "off": -5 }}},
{ "c": "dim", "a": { "x1":-100, "y1":-25, "x2":200, "y2":-25, "ld":[8,4,1,4], "label":{"str":"6e", "off": 5 }}},
{ "c": "cir", "a": { "x":-100, "y":200, "r":300 }}
]
}
Abb. 3: Lage des Wendepols W, Wendekreismittelpunkts W 0 W_0 W 0
2 Animation der Kurbelschwinge
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{ "type":"fix","p":"A0" },
{ "type":"fix","p":"B0" }
]
}
Modell 1: Kinematisches Modell einer Kurbelschwinge
References
Gössner, S., 2017. Mechanismentechnik: Vektorielle Analyse ebener Mechanismen. Berlin: Logos